Мiнiстерство освiти і науки, молоді та спорту України Національний університет "Львівська полiтехнiка" Звіт до лабораторної роботи №2 на тему «Методи наближення функцій» з курсу: «Чисельні методи в інформатиці»  Мета роботи Ознайомлення з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. Теоретичні відомості Перша інтерполяційна формула Ньютона Нехай
– значення деякої функції y=f(x), що відповідають рівновіддаленим значенням аргументу
. Величина
називається скінченною різницею першого порядку функції f(x)в точці
(з кроком h) і позначається
або
, тобто
. Скінченна різниця другого порядку в точці xi визначається рівностями:
. Скінченна різниця n-го порядку функції y=f(x) в точці
визначається рекурентною формулою:
, де


Скінченні різниці зручно розміщувати у вигляді таблиці: Така таблиця називається діагональною таблицею різниць. Всі різниці будемо записувати цілими числами в одиницях молодшого розряду значень функції у вузлах інтерполювання. x y 


…  




  




  



   


    … … … … … …   Можна записати формулу:
, (1) де
– біномні коефіцієнти. Остання формула виражає скінченні різниці через значення функції у вузлових точках. Нехай для функції y=f(x) задано її значення
для значень аргументу, які утворюють арифметичну прогресію
(i=0,1,...,n), де h – крок таблиці. Треба побудувати многочлен
степінь якого був би не більшим за n, а значення його у вузлах інтерполювання збігалися б із значенням функції y=f(x); тобто:
(i=0,1,2,...,n). (2) Многочлен
визначається у вигляді:
(3) Коефіцієнти
у (12) визначають так, щоб виконувались умови (11). Після деяких перетворень і застосування раніше введених означень скінченних різниць отримують співвідношення:
(4) Формула (4) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Доведено, що існує лише один інтерполяційний многочлен n-го степеня, значення якого у вузлах інтерполяції
дорівнюють значенням функції
. Індивідуальне завдання Варіант 11 Обчислити значення функції 1-ї формули Ньоютона / в 5 різних точках для двох різних інтервалів інтерполяції ([-3 3], [3 10]). Дослідити вплив степені полінома (n1=1,2,3 n2=4,5,6, n3=7,8,9) на точність одержаних результатів. Виконання обчислень Інтервал [-3 3] Вибираємо n1=2 h=(3-(-3))/2=3 x y 

 -3 0 0 3  0 0 3   3 3     Отриманий поліном P2(x) = (x*x+3*x)/6 Вибираємо n2=4 h=(3-(-3))/4=1.5 x y 



 -3 0 0 0 1.5 -3  -1.5 0 0 1.5 -1.5   0 0 1.5 0    1.5 1.5 1.5     3 3       Отриманий поліном P4(x) = -0.0246x4 +0.0002 x3 +0.3883 x2 +0.499 x Вибираємо n3=7 h=(3-(-3))/7=0.8571 x y 






 -3 0 0 0 0 0.4287 -0.8577 0.8568 0.0006  -2.1429 0 0 0 0.4287 -0.429 -0.0009 0.8574   -1.2858 0 0 0.4287 -0.0003 -0.4281 0.8565    -0.4287 0 0.4287 0.4284 -0.4284 0.4284     0.4287  0.4287 0.8571 0 0      1.2858 1.2858 0,8571 0       2.1429 2.1429 0.8571        3 3          Інтервал [3 10] На цьому інтервалі всі отримані поліноми збігаються з точною функцією P2(x)= P4(x)= P7(x)=у(х)=х Програма на мові Matlab clc clear all format compact %Точна функція на проміжку [-3 3] x=[-3 0 3.5] y=[0 0 3.5] plot(x,y,'LineWidth',1.5) hold on axis([-4 5 -1 5]) xx=[-3.5 -0.1 0.1 1.6 3.5] yy=[0 0 0.1 1.6 3.5] %наближена функція при n1=2, h=3 x2=[-3.5 -0.1 0.1 1.6 3.5] y2=x2.^2/6+x2/2 plot(x2,y2,':') grid %наближена функція при n2=4, h=1.5, проміжок [-3 3] y3 = -0.0246*x2.^4+0.0002*x2.^3+0.3883*x2.^2+0.499*x2 plot(x2,y3,'o') %наближена функція при n3=7, h=0.8571, проміжок [-3 3] y4=0.0000004*x2.^7+0.003*x2.^6-0.0001003*x2.^5-0.0531*x2.^4-0.000596*x2.^3+0.3778*x2.^2+0.5055*x2+0.1361 plot(x2, y4,'k:','LineWidth',1.5) legend('Точна функція','Наближена функція при n=2','Наближена функція при n=4','Набли...